f2(x)=x+√(1+x^2)f3(x)=√(1+x^2)f4(x)=xF(x)求导过程因为F'(x)=ln[x+√(1+x^2)]，所以要证明F(x)>0即证明f2(x)>1。因为x>0，所以f'2(x)>0，即f2(x)在(0，+∞)上...

若f(x)是凹函数,则[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]因为f(x)=x^n(n>1)是凹函数故[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]即(x^n+y^n)/2>((x+y)/2)^n...

先证明e^x为凹函数，然后用性质即可

依Jensen不等式得[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2](x≠y时为严格不等式)∴(e^x+e^y)/2>e^[(x+y)/2].(2)构造函数f(t)=tlnt(t>0)，则f'(t)=lnt+1，f''(t)=1/t>0，故f(t)为下凸函数，...

所以f(x)是严格下凸函数又因为f(0)=g(0)=0,f(π/2)=g(π/2)=1,由下凸函数的图像，所以f(x)的图像总是在直线g(x)=2x/π的下面(0<x<π/2)。也就是说1-cosx<2x/π(0<x<π/2)。

若f(x)是凹函数,则[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]因为f(x)=x^n(n>1)是凹函数故[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]即(x^n+y^n)/2>((x+y)/2)^n...

1-cosx在0<x<π/2上是（0,1）的凹函数；而2x/π在0<x<π/2上是（0,1）的直线显然在同一区间的相同函数值内直线上的函数值比凹函数要大所以1-cosx<2x/π（0<x<π/2)...

如下图所示

25、构造函数f(x)＝sinx0～π上，f''(x)<0f(x)为凸函数利用凸函数的性质证明不等式过程如下：

=2xlnx-x-1/x+2显然x=1时，y'=0而二阶导数y''=2lnx+2-1+1/x²=2lnx+1+1/x²x=1时，y''>0即x=1时取最小值，此时y=0于是得到y=(x²-1)lnx-(x-1)²≥0证明x...