f3(x)=√(1+x^2)f4(x)=xF(x)求导过程因为F'(x)=ln[x+√(1+x^2)]，所以要证明F(x)>0即证明f2(x)>1。因为x>0，所以f'2(x)>0，即f2(x)在(0，+∞)上是增函数。又因为f2(0)=...

25、构造函数f(x)＝sinx0～π上，f''(x)<0f(x)为凸函数利用凸函数的性质证明不等式过程如下：

若f(x)是凹函数，则[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]因为f(x)=x^n(n>1)是凹函数故[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]即(x^n+y^n)/2>((x+y)/2)^n...

凹函数的性质：若f(x)是凹函数，则[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]因为f(x)=x^n(n>1)是凹函数故[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]即(x^n+y^n)/2>((x+y)/2)^n...

是下凸函数.故依Jensen不等式,可得f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]→m^m+n^n≥2[(m+n)/2]^[(m+n)/2].上式两边平方,即得(m^m+n^n)^2≥4[(m+n)/2]^(m+n).显然,m＝n时,上式取等.故原不等式...

所以f(x)是严格下凸函数又因为f(0)=g(0)=0,f(π/2)=g(π/2)=1,由下凸函数的图像，所以f(x)的图像总是在直线g(x)=2x/π的下面(0<x<π/2)。也就是说1-cosx<2x/π(0<x<π/2)。

构造函数f(x)=1+x㏑[x+√(1+x²)]-√(1+x²)，则求导(略)，易得f′(x)=㏑[x+√(1+x²)].显然，x>0时，x+√(1+x²)>1，故f′(x)>0，即f(x)单调递增，∴x>0时，f(...

先证明e^x为凹函数，然后用性质即可

构造函数f(t)＝t^t(t>0),易得f"(t)＝t^t·(lnt+1)²+t^(t-1)·(t+1)>0,∴f(t)＝t^t(t>0)是下凸函数.故依Jensen不等式，可得f(m)+f(n)≥2f[(m+n)/2]→m^m+n^n≥2[(m+n...

实际上凹凸性是可以根据导函数确定的，可以转化为利用导数实现。证：令f(x)=1-cosx-2/pi*x,则有f'(x)=sinx-2/pi,令导函数为零可以得到极值点，判断在极值点左右是单调递减还是单调递增，可以得到在极值点左减右增...